解不等式 |x − 1| / (x^2 − 4) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先确定定义域。 分母不能为零：

   $x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\ \Longrightarrow\ x\neq 2,\ x\neq -2$

   无论后面分析出什么，这两个点都绝不能出现在答案里。

2. 2

   利用分子符号固定这一事实。 对任意实数 $x$ 都有 $|x-1|\ge 0$，且只在 $x=1$ 处取零。所以分子永远不会把分式变成负的——除了分子为零的那一个点之外，商的符号完全由分母决定。

3. 3

   情形 A：分式严格为正。 这需要 $|x-1|>0$（即 $x\neq 1$）且 $x^2-4>0$。分解后 $(x-2)(x+2)>0$ 要求两个因式同负或同正：

   $x<-2\quad\text{或}\quad x>2$

   由于 $x=1$ 不在这两个区域内，整个 $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ 都符合。

4. 4

   情形 B：分式恰好为零。 商为零，当且仅当分子为零而分母不为零：

   $|x-1|=0\Rightarrow x=1,\qquad 1^2-4=-3\neq 0\ \checkmark$

   因为不等式是 $\ge 0$ 而不是 $>0$，所以这个孤立的点属于解集，尽管它落在分式其余部分都为负的区间 $(-2,2)$ 之内。

5. 5

   排除 $(-2,2)$ 的其余部分。 在那里 $x^2-4<0$ 而 $|x-1|>0$，所以分式严格为负——例如 $x=0$ 时它是 $\tfrac{1}{-4}=-0.25$。$(-2,2)$ 中除 $x=1$ 之外的点全都不满足。

6. 6

   合并各种情形。

   $(-\infty,-2)\cup\{1\}\cup(2,\infty)$

   $1$ 外面那对花括号不是笔误：当一个非负的分子在负值区域内取到零时，"$\ge$"给出的解集里出现孤立点正是理所当然的。