把 75a⁶ − 147b¹⁶ 彻底因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   永远先把最大公因式提出来。 按原样看，$75a^6$ 和 $147b^{16}$ 都不是完全平方，所以平方差公式还用不上。先分解系数：

   $75=3\cdot 25,\qquad 147=3\cdot 49$

   字母部分没有共同的东西 —— $a^6$ 和 $b^{16}$ 连一个公共字母都没有 —— 所以公因式就只是数字 $3$：

   $75a^6-147b^{16}=3\left(25a^6-49b^{16}\right)$

2. 2

   检查括号里每一项是不是完全平方。 这正是上一步提公因式的意义所在。一个单项式是完全平方，当且仅当它的系数是平方数、指数都是偶数：

   $25a^6=(5a^3)^2\qquad\text{因为 } 5^2=25 \text{ 且 } (a^3)^2=a^6$

   $49b^{16}=(7b^8)^2\qquad\text{因为 } 7^2=49 \text{ 且 } (b^8)^2=b^{16}$

   诀窍全在指数除以 2：$6/2=3$，$16/2=8$。

3. 3

   套用平方差公式。 取 $u=5a^3$、$v=7b^8$，

   $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$

   就有

   $25a^6-49b^{16}=(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

4. 4

   把先前搁在一边的公因式装回去。 千万别把那个 $3$ 弄丢了 —— 这是这类题里最常见的失误：

   $75a^6-147b^{16}=3(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

5. 5

   确认不能再分，然后抽查一下。 像 $5a^3+7b^8$ 这样的平方和在实数范围内永远分解不了；而 $5a^3-7b^8$ 也不是平方差，因为 $5$ 和 $7$ 都不是平方数，指数 $3$ 还是奇数。稳妥起见，把答案再展开回去：

   $3\left[(5a^3)^2-(7b^8)^2\right]=3\left(25a^6-49b^{16}\right)=75a^6-147b^{16}$

   与原式完全一致。