把 6x(x − y)² + 3(y − x)(y − x)² 分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   先把第二项收成一个幂。 乘积 $(y-x)(y-x)^2$ 其实就是 $(y-x)^3$：

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3$

   写成一个幂之后，指数的奇偶性就一目了然，而下一步正是依赖这一点。

2. 2

   用变号规则把两个二项式统一。 因为 $y - x = -(x-y)$，奇次幂会带出一个负号，偶次幂则不会：

   $(y-x)^3 = \left[-(x-y)\right]^3 = -(x-y)^3, \qquad (y-x)^2 = (x-y)^2$

   这一步正是符号最容易出错的地方：只有奇次幂才变号。

3. 3

   把整个式子都改写成关于 (x − y) 的形式。

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3 = 6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$

   现在两项的二项式底数相同了，可以提公因式。

4. 4

   提出最大公因式。 $6$ 和 $3$ 的最大公约数是 $3$，二项式取次数较低的那个 $(x-y)^2$：

   $6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3 = 3(x-y)^2\Big[2x - (x-y)\Big]$

5. 5

   化简剩下的方括号。

   $2x - (x - y) = 2x - x + y = x + y$

   $\Longrightarrow \quad 6x(x-y)^2 + 3(y-x)(y-x)^2 = 3(x-y)^2(x+y)$

6. 6

   代数值检验。 取 $(x,y) = (3,5)$，原式是 $6(3)(4) + 3(2)(4) = 72 + 24 = 96$，分解后是 $3(4)(8) = 96$。在 $(-2, 7)$ 以及用精确分数运算的 $\left(\tfrac12, \tfrac13\right)$ 处同样吻合。$(x-y)^2$ 和 $x+y$ 都不能再分解，所以到此为止。