用竖式求 4x³ + x² + 2x + 6 与 x + 5 的积，并化简。

Step-by-step solution

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   先弄明白「竖式」到底带来什么好处。 像整数竖式乘法那样排开，意味着你会得到两个部分积 —— 二项式的每一项各产生一个 —— 然后把同次幂对齐在同一列里相加。正是这种按列对齐，挡住了把 $x^{3}$ 项和 $x^{2}$ 项加到一起的经典错误。

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   分配 $x$，得到第一个部分积。 三次式的每一项都乘 $x$，指数统统升高一次：

   $x\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=4x^{4}+x^{3}+2x^{2}+6x$

3. 3

   分配 $5$，得到第二个部分积。 这一行只有系数在变：

   $5\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=20x^{3}+5x^{2}+10x+30$

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   把两行按列相加。 按 $x$ 的次数分组：

   $4x^{4}+\left(x^{3}+20x^{3}\right)+\left(2x^{2}+5x^{2}\right)+\left(6x+10x\right)+30$

   注意 $4x^{4}$ 没有搭档（只有乘 $x$ 那一行产生了四次项），$30$ 也没有搭档（只有乘 $5$ 那一行产生了常数项）。

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   合并同类项，写出结果。

   $4x^{4}+21x^{3}+7x^{2}+16x+30$

   快速核对一下次数：$3$ 次式乘 $1$ 次式必然得 $4$ 次式，首项系数必然是 $4\cdot 1=4$。两条都对上了。

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   取几个值验算。 $x=0$ 时，乘积形式和展开形式都给出 $6\cdot 5=30$。$x=1$ 时都是 $13\cdot 6=78$，$x=2.5$ 时都是 $598.125$，$x=-1.3$ 时都是 $-13.6826$。四个点全部吻合已是很强的证据；再加一个点就足以完全确定一个 $4$ 次多项式。