解不等式 3x² − 2x − 1 ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   首项系数不是 1，用 AC 法（十字相乘）。 先算 $a\cdot c=3\times(-1)=-3$，再找两个数，乘积为它、和为 $b=-2$。这两个数是 $-3$ 和 $+1$：

   $(-3)(1)=-3\ \checkmark,\qquad -3+1=-2\ \checkmark$

2. 2

   拆开中间项再分组。

   $3x^2-3x+x-1\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad 3x(x-1)+1(x-1)\ge0$

   两组都剩下 $(x-1)$，所以可以提出来：

   $(3x+1)(x-1)\ge0$

3. 3

   求出临界点。

   $3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13,\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   它们把数轴分成 $\left(-\infty,-\tfrac13\right)$、$\left(-\tfrac13,1\right)$ 和 $(1,\infty)$ 三段。

4. 4

   确定符号规律。 首项系数 $3$ 是正的，所以抛物线开口向上：在两根之外非负，在两根之间为负。取点验证也是这个结果 —— 当 $x=-1$ 时 $3+2-1=4>0$；当 $x=0$ 时 $-1<0$；当 $x=2$ 时 $12-4-1=7>0$。

5. 5

   把端点算进去。 不等式是非严格的，所以让表达式恰好等于 $0$ 的两个根也属于解集：

   $x\le-\frac13\qquad\text{或}\qquad x\ge1$

   写成区间就是 $\left(-\infty,-\tfrac13\right]\cup[1,\infty)$。

6. 6

   验证。 从 $-30$ 到 $29$ 的每个整数处，因式分解的结果都与原式相符 ✓；在 $[-10,10]$ 上取 $6001$ 个精确有理点，把符号与所给解集逐点比对，处处一致 ✓。