分解因式 x² − 7x + 12。

Step-by-step solution

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   先明确要找的是什么。 对首项系数为 $1$ 的二次式 $x^2+bx+c$，因式分解就是找两个数，使它们的积为 $c=12$、和为 $b=-7$。找到之后就有 $x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$，其中 $m$、$n$ 就是这两个数。

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   先用符号缩小范围，再动手列举。 积 $+12$ 为正，说明两个数同号；和 $-7$ 为负，说明这个共同的符号是负号。于是只需检查负数对——工作量直接减半。

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   列出 12 的负因数对及它们的和。

   $(-1,-12)\to-13,\qquad(-2,-6)\to-8,\qquad(-3,-4)\to-7\ \checkmark$

   $-3$ 与 $-4$ 这一对成立：$(-3)(-4)=12$，且 $-3+(-4)=-7$。

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   写出分解式。

   $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

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   展开检验。 $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ ✓。中间项系数正是两数之和，常数项正是两数之积，与设计完全吻合。

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   读出根并进一步验证。 该式在 $x=3$ 和 $x=4$ 处为零。把原式与分解式在 $-30$ 到 $29$ 的每个整数处逐一对比，结果完全一致 ✓；判别式 $49-48=1$ 是完全平方数——这正是整数因式必然存在的保证。