设 U 为全集，A、B、C 是 U 的子集。下列哪一个正确？(1) A − (B ∪ C) = (A − B) ∪ (A − C)；(2) (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C)；(3) A − (B − C) = A ∩ (B′ ∩ C′)；(4) (A ∪ B) − C = A ∪ (B − C)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每个差集都改写成「与补集求交」。 只用 $X-Y=X\cap Y'$ 这一条规则，四个命题就全变成纯粹的交、并、补运算，德摩根律可以机械地套上去。盯着韦恩图猜很容易出错，而这样改写不会。

2. 2

   检验命题 1。 左边：$A-(B\cup C)=A\cap(B\cup C)'=A\cap B'\cap C'$。右边：$(A\cap B')\cup(A\cap C')=A\cap(B'\cup C')$。两者不同——一个属于 $A$、属于 $B$ 但不属于 $C$ 的元素在右边而不在左边。错。（正确的版本是 $A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)$。）

3. 3

   检验命题 2。 左边：$(A\cap B)-C=(A\cap B)\cap C'=A\cap B\cap C'$。右边：$(A\cap C')\cap(B\cap C')=A\cap B\cap C'\cap C'=A\cap B\cap C'$，这里用到了幂等律 $C'\cap C'=C'$。两边完全相同。对。

4. 4

   检验命题 3。 左边：$A-(B-C)=A\cap(B\cap C')'=A\cap(B'\cup C)$。而声称的右边是 $A\cap B'\cap C'$。取 $x\in A\cap B\cap C$：则 $x$ 在左边（因为 $x\in C$），却不在右边（因为 $x\in B$ 且 $x\in C$）。错。

5. 5

   检验命题 4。 左边：$(A\cup B)\cap C'=(A\cap C')\cup(B\cap C')$。右边：$A\cup(B\cap C')$。任何 $x\in A\cap C$ 都在右边而不在左边，因为左边把 $C$ 整个都挖掉了，包括落在 $A$ 里的那部分。错。

6. 6

   下结论。

   $\boxed{\text{只有命题 2 正确}}$

   一个具体的反例就能同时否掉那三个：取 $U=\{1,2,3\}$、$A=\{1,2,3\}$、$B=\{1\}$、$C=\{2\}$。这时命题 1 变成 $\{3\}=\{1,2,3\}$，命题 3 变成 $\{2,3\}=\{3\}$，命题 4 变成 $\{1,3\}=\{1,2,3\}$——全都不成立——而命题 2 变成 $\{1\}=\{1\}$。