用综合除法计算 x^3 - 2x^2 - 4x + 8 除以 x - 2，写出商和余数。

Step-by-step solution

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   先从除式里读出 $c$。 综合除法只在除式写成 $x-c$ 时才成立，写进角落里的那个数是这个除式的根，而不是式子里直接看到的那个数。这里 $x-2=x-(2)$，所以

   $c=2$

   常见的疏忽是因为 $x-2$ 里印着一个减号就填 $-2$。不妨用余数定理反过来验一验：余数必须等于 $f(c)$，而 $f(2)=8-8-8+8=0$，表格算出来的也应该是这个数。

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   把系数按降幂写出来，缺的幂次补零。 对 $x^3-2x^2-4x+8$ 来说，从 $x^3$ 一直到 $x^0$ 每个幂次都在，所以不用补：

   $1,\;-2,\;-4,\;8$

   大部分错误就出在这一步。如果某个幂次缺席，你仍然必须用一个 $0$ 给它占住位置，否则后面每一次「乘加」都会往左错一列。

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   执行「乘一次、加一次」的循环。 把首位的 $1$ 直接落下来，然后反复地把刚写下的数乘以 $c=2$，再加到下一个系数上：

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & -2 & -4 & 8\\ & & 2 & 0 & -8\\ \hline & 1 & 0 & -4 & 0\end{array}$

   具体地说：$1\cdot 2=2$，$-2+2=0$；接着 $0\cdot 2=0$，$-4+0=-4$；再接着 $-4\cdot 2=-8$，$8+(-8)=0$。

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   读懂最后一行。 最右边一项是余数，它左边的各项依次是商的系数；因为除的是一次因式，商的次数比原式低一次：

   $\text{商}=1x^2+0x-4=x^2-4,\qquad \text{余数}=0$

   中间那一列的 $0$ 不是摆设——它是 $x$ 的系数，正因为它是零，商里才没有一次项。

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   乘回去验算。 余数为 $0$ 意味着整除，所以除式乘商必须还原出原来的三次式：

   $(x-2)(x^2-4)=x^3-4x-2x^2+8=x^3-2x^2-4x+8\;\checkmark$

   由于余数为零，你顺带也把这个多项式因式分解了：$x^2-4$ 还能继续拆成 $(x-2)(x+2)$，于是 $x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)$，根为 $x=2$（二重根）和 $x=-2$。