证明 kt + xy > ky + tx 等价于 (k − x)(t − y) > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有项移到一边。 两边同减 $ky$ 和 $tx$，让比较对象变成零：

   $kt-tx+xy-ky>0$

2. 2

   把含公因式的项两两分组。 前两项都含 $t$，后两项都含 $y$：

   $t(k-x)+y(x-k)>0$

3. 3

   把两个括号变成一模一样的。 第二个括号是第一个的相反数，因为 $x-k=-(k-x)$：

   $t(k-x)-y(k-x)>0$

   看出这一次变号就是全部技巧；看不出来的话，这个分组就像走进了死路。

4. 4

   提出公共的二项式。

   $(k-x)(t-y)>0$

5. 5

   写出条件并检验。 两个实数之积为正，恰好等价于它们同为正或同为负：

   $\left(k>x\ \text{且}\ t>y\right)\quad\text{或}\quad\left(k<x\ \text{且}\ t<y\right)$

   取 $k=4,t=3,x=1,y=2$（两个差都为正）：左边 $=12+2=14$，右边 $=8+3=11$，而 $14>11$ $\checkmark$，同时 $(3)(1)=3>0$ $\checkmark$。再取 $k=1,t=3,x=4,y=2$（两个差异号）：左边 $=3+8=11$，右边 $=2+12=14$，不等式不成立 $\checkmark$，与 $(-3)(1)=-3<0$ 相符。