解方程 x⁵ + 30x⁴ + 75x³ − 3250x² − 15000x = 0。

Step-by-step solution

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   先把明显的公因式提出来。 每一项都含 $x$：

   $x\left(x^4+30x^3+75x^2-3250x-15000\right)=0$

   于是 $x=0$ 立刻就是一个根，剩下要处理的是一个四次式。

2. 2

   在 15000 的约数里找整数根。 把 $x=10$ 代进四次式：

   $10000+30000+7500-32500-15000=0\;\checkmark$

   所以 $(x-10)$ 是一个因式。试根的代价很低，而且结论确凿；不代入验算就凭直觉猜 $\pm 25$ 这类大数，正是错误因式分解被发表出去的原因。

3. 3

   做除法，继续分解。 用综合除法把四次式除以 $x-10$，余下

   $x^3+40x^2+475x+1500$

   而 $x=-5$ 满足这个三次式：$-125+1000-2375+1500=0\;\checkmark$。再除以 $x+5$，得到二次式

   $x^2+35x+300$

4. 4

   把最后这个二次式分解。 积为 $300$、和为 $35$ 的两个数是 $15$ 和 $20$：

   $x^2+35x+300=(x+15)(x+20)$

   所以完整的因式分解是

   $x^5+30x^4+75x^3-3250x^2-15000x=x(x-10)(x+5)(x+15)(x+20)$

5. 5

   列出全部根并逐一验证。

   $x=0,\;10,\;-5,\;-15,\;-20$

   有两个相互独立的检验能确认这个根集。韦达定理：五根之和应为 $-30$，而 $0+10-5-15-20=-30\;\checkmark$；四个非零根之积应等于四次式的常数项 $-15000$，而 $10\cdot(-5)\cdot(-15)\cdot(-20)=-15000\;\checkmark$。用数值方法解这个五次方程，返回的也正是 $10,-20,-15,-5,0$。