求函数 f(x) = x² − 2x + 9 的定义域，答案用区间表示。

Step-by-step solution

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   先问一句：哪里可能出问题？ 求定义域其实就是在排查「不合法的运算」，而在普通代数里只有三种：分母为零、对负数开偶次方根、对非正数取对数。

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   拿解析式去对照这份清单。 $f(x)=x^2-2x+9$ 是一个多项式：它只用乘法和加法由 $x$ 搭建而成。既没有分母，也没有根号和对数，所以上面三种情况一种都不会发生。

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   于是任何实数都能代入。 代入任意实数 $x$，输出都是实数——比如 $f(0)=9$、$f(-100)=10209$、$f(3.5)=14.25$。因此

   $\text{定义域}(f)=(-\infty,\infty).$

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   别把它和值域混为一谈。 配方可得

   $f(x)=(x-1)^{2}+8,$

   所以函数值永远不会低于 $8$；等价地，判别式 $(-2)^2-4(1)(9)=-32$ 为负，说明 $f$ 没有实数零点。这限制的是值域 $[8,\infty)$，和「哪些自变量可以取」毫无关系。

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   记住这条一般结论。 任何次数的多项式函数，定义域都是 $(-\infty,\infty)$。只有当式子里出现分式、偶次根式或对数时，定义域才真正需要费心去求。