把 (2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 写成完全平方的形式。

Step-by-step solution

1. 1

   动手算之前，先看结构。 三项分别是：某个东西的平方、这个东西的两倍、再加 $1$。这正好是完全平方的形式

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$

   认出它，就省掉了先展开成 $4x^2 + 8x + 4$ 再重新因式分解的一圈弯路。

2. 2

   给重复出现的那一块起个名字。 令

   $A = 2x + 1$

   于是原式就是不折不扣的 $A^2 + 2A + 1$。要套这个公式，中间项必须正好是 $2A$（而不是 $2$ 乘上别的东西）——这里 $2(2x+1) = 2A$，恰好符合。

3. 3

   套公式，再把 $A$ 换回去。

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2 = \bigl((2x+1) + 1\bigr)^2 = (2x+2)^2$

4. 4

   把括号里的公因数提出来。 括号内两项都含因数 $2$：

   $(2x+2)^2 = \bigl(2(x+1)\bigr)^2 = 4(x+1)^2$

   一般把 $4(x+1)^2$ 当成最终答案，因为这时括号里已经化到最简了。

5. 5

   把两边都展开来验证。 原式展开得到

   $(4x^2 + 4x + 1) + (4x + 2) + 1 = 4x^2 + 8x + 4$

   答案展开是 $4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4$，两者一致；再取 $x = 3$ 抽查一下：$49 + 14 + 1 = 64 = 4(4)^2$。