求 (i² − 1) 从 i = 2 到 i = 5 的和。

Step-by-step solution

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   先看懂求和符号在说什么。 下标 $i$ 依次取整数 $2,3,4,5$ - 一共四项而不是五项，因为上下限都是包含在内的。对每个 $i$ 代入 $i^2-1$，再把结果加起来。

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   逐项求值。 $i=2$：$4-1=3$。$i=3$：$9-1=8$。$i=4$：$16-1=15$。$i=5$：$25-1=24$。注意每一项都可以写成 $i^2-1=(i-1)(i+1)$，所以这些值分别是 $1\cdot3$、$2\cdot4$、$3\cdot5$、$4\cdot6$。

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   把四项加起来。 $3+8+15+24 = 50.$ 凑一下更快：$3+24=27$，$8+15=23$，再 $27+23=50$。

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   用现成的求和公式验证。 把和拆开：$\sum_{i=2}^{5} i^2 - \sum_{i=2}^{5} 1$。前一部分是 $\tfrac{5\cdot6\cdot11}{6}-1 = 55-1 = 54$（到 $5$ 为止的平方和，再减掉 $i=1$ 那一项），后一部分就是 $4$。于是 $54-4=50$，结果吻合。

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   留意两个经典陷阱。 把下标从 $1$ 开始会多加一项 $1^2-1=0$，这题里碰巧不影响答案；但只在最后减一次 $1$（算成 $54-1=53$）就是实打实的错误了 - $-1$ 在求和项内部，要减四次。