展开 (x²y + 5y² − 5 − 2y³ − 2x + 6y − 5y⁴) 乘以 5y²。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清这个单项式对每一项做了什么。 乘以 $5y^{2}$，就是把每个系数乘 $5$、让 $x$ 的次数原样不动、让 $y$ 的次数正好加 $2$。记住这条规律，七次乘法就变成了七处小改动。

2. 2

   先处理含 x 的那两项。

   $\left(x^{2}y\right)\left(5y^{2}\right)=5x^{2}y^{3},\qquad (-2x)\left(5y^{2}\right)=-10xy^{2}.$

3. 3

   再处理常数项。 常数相当于带着 $y^{0}$，所以它会变成一个 $y^{2}$ 项：

   $(-5)\left(5y^{2}\right)=-25y^{2}.$

   这一项是最容易被漏掉的——常数也是一项。

4. 4

   接着处理四个只含 y 的幂。

   $\left(5y^{2}\right)\left(5y^{2}\right)=25y^{4},\qquad \left(-2y^{3}\right)\left(5y^{2}\right)=-10y^{5},$
   $(6y)\left(5y^{2}\right)=30y^{3},\qquad \left(-5y^{4}\right)\left(5y^{2}\right)=-25y^{6}.$

5. 5

   按合理的顺序把七项收拢。

   $5x^{2}y^{3}-10xy^{2}-25y^{6}-10y^{5}+25y^{4}+30y^{3}-25y^{2}.$

   最高次数是 $6$，来自原式里的 $-5y^{4}$ 项——乘以 $5y^2$ 把多项式的次数抬高了 $2$，与预期一致。

6. 6

   代入数值检验。 取 $x=y=1$，括号里是 $1+5-5-2-2+6-5=-2$，而 $5y^2=5$，所以乘积应当是 $-10$。把答案的七项在 $x=y=1$ 处相加：$5-10-25-10+25+30-25=-10$ ✓。