解不等式 (3 − x)/(2x + 1) ≥ 1。

Step-by-step solution

1. 1

   千万别把两边乘以 2x + 1。 它在 $x=-\tfrac12$ 处变号，一乘过去，在这个点的某一侧不等号方向会悄悄反过来。正确的第一步，是把式子整理成一个分式与零比较。

2. 2

   两边减 1，通分合并。

   $\frac{3-x}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{3-x-(2x+1)}{2x+1}\ge0$

   这个减号要作用到 $(2x+1)$ 的两项上：

   $3-x-2x-1=2-3x$

   于是不等式变成 $\dfrac{2-3x}{2x+1}\ge0$。

3. 3

   找出临界点。

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23\quad(\text{分子为零}),\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{须排除})$

   它们把数轴分成 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$ 和 $\left(\tfrac23,\infty\right)$ 三段。

4. 4

   每段取一个点试符号。 取 $x=-1$：$\dfrac{2+3}{-1}=-5<0$。取 $x=0$：$\dfrac{2}{1}=2>0$。取 $x=1$：$\dfrac{-1}{3}<0$。所以只有中间那一段符合要求——分式恰好在两个临界点之间为正。

5. 5

   两个端点要分别判断，因为它们的性质并不相同。 在 $x=\tfrac23$ 处分子为 $0$，分式等于 $0$，$\ge0$ 成立——要取。在 $x=-\tfrac12$ 处分母为 $0$，表达式没有定义——必须排除。正是这种不对称，让解集成了一个半开半闭区间。

6. 6

   写出解集并验证。

   $-\frac12<x\le\frac23,\qquad\left(-\frac12,\ \frac23\right]$

   在 $[-3,3]$ 上取 $18001$ 个有理测试点用精确分数验算（跳过 $x=-\tfrac12$），原不等式恰好在这个区间的点上成立，别处都不成立 ✓。