数列满足 a(n) = 4a(n-1) − 4a(n-2)（对每个不小于 2 的整数 n 都成立），且 a(0) = −2025，a(1) = 2026。已知 a(2025) = b 乘以 2^c，其中 b、c 是常数，求 b/c。

Step-by-step solution

1. 1

   写出特征方程。 对常系数线性递推，猜 $a_n=r^n$ 就能把递推关系变成一个代数方程。代入 $a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2}=0$ 并两边除以 $r^{n-2}$：

   $r^2-4r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^2=0\;\Longrightarrow\;r=2\ \text{（二重根）}$

2. 2

   采用重根情形的通解形式。 二重根只能给出一个指数型解 $2^n$，所以第二个线性无关的解要额外带一个因子 $n$：

   $a_n=(A+Bn)\,2^{n}$

   这一步是学生最容易做错的地方——写成 $A\cdot 2^n+B\cdot 2^n$ 会并成一个常数，根本无法同时匹配两个独立的初值。

3. 3

   用两个初始条件定系数。 由 $n=0$：

   $a_0=(A+0)\cdot 2^0=A=-2025$

   由 $n=1$：

   $a_1=(A+B)\cdot 2=2026\;\Longrightarrow\;A+B=1013\;\Longrightarrow\;B=1013+2025=3038$

   于是 $a_n=(3038n-2025)\,2^{n}$。顺手验算一下：$a_2=(6076-2025)\cdot4=16204$，而直接用递推算 $4a_1-4a_0=4(2026)-4(-2025)=16204$，两者一致。

4. 4

   在 $n=2025$ 处求值，并把系数提出公因数。

   $a_{2025}=(3038\cdot 2025-2025)\,2^{2025}=2025\,(3038-1)\,2^{2025}=2025\cdot 3037\cdot 2^{2025}$

   在相乘之前先把公因数 $2025$ 提出来，最后一步才会干净利落——先展开的话会得到 $6{,}149{,}925$，之后还得再把它除回 $2025$。

5. 5

   读出 $b$、$c$ 并相除。 与 $a_{2025}=b\cdot 2^{c}$ 对照可得 $b=2025\cdot3037=6{,}149{,}925$，$c=2025$，于是

   $\frac{b}{c}=\frac{2025\cdot 3037}{2025}=3037$

   因数 $2025$ 恰好约干净，这正是题目的设计用意：答案就是 $B-1=3037$。