化简 (2 − (a − b)/(a + b)) × (3 − (a + 2b)/(a + b)) 的 −1 次幂 × (2a + b) − 3b。

Step-by-step solution

1. 1

   先看清结构，再动手算。 这里是三个因式相乘，最后再减去 $3b$。中间那个因式带 $-1$ 次幂，它的意思仅仅是取倒数 —— 既不是做减法，也不会分配到括号内部去。所以思路是：把每个括号化成一个分式，把第二个上下翻转，相乘，最后再处理末尾的 $-3b$。

2. 2

   把第一个括号通分成一个分式。 把 $2$ 写成分母为 $a+b$ 的形式，两项才能合并：

   $2-\frac{a-b}{a+b}=\frac{2(a+b)-(a-b)}{a+b}=\frac{2a+2b-a+b}{a+b}=\frac{a+3b}{a+b}.$

   分式前面的负号必须同时作用到 $a-b$ 的两项上，那个 $+b$ 就是这么来的。

3. 3

   第二个括号照样通分，然后取倒数。 利用 $3=\dfrac{3(a+b)}{a+b}$：

   $3-\frac{a+2b}{a+b}=\frac{3a+3b-a-2b}{a+b}=\frac{2a+b}{a+b}.$

   指数 $-1$ 把它上下翻转：

   $\left(\frac{2a+b}{a+b}\right)^{-1}=\frac{a+b}{2a+b}.$

4. 4

   三个因式相乘并约分。 现在一切都对得上了 —— $a+b$ 与 $a+b$ 约掉，$2a+b$ 与第三个因式约掉：

   $\frac{a+3b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{2a+b}\cdot(2a+b)=a+3b.$

   能这样约分，正是出题人特意挑选那几个分子的原因。

5. 5

   减去最后剩下的那一项。 末尾的 $-3b$ 把残留的 $3b$ 抹平：

   $a+3b-3b=a.$

   所以整个式子就等于 $a$。值得把原式自带的限制条件写清楚：需要 $a+b\neq 0$（分式的要求），以及 $2a+b\neq 0$（$-1$ 次幂要求底数不为零）。取 $a=-\tfrac{37}{5}$、$b=\tfrac{38}{9}$ 做一次数值抽查，结果是 $-\tfrac{37}{5}$，与 $a$ 相符。