解 2x² − x − 15 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   摆出十字相乘（ac 法）的思路。 由 $a=2$、$b=-1$、$c=-15$，我们要找两个数，乘积是 $ac=2(-15)=-30$，和是 $b=-1$。因为 $a\neq 1$，光分解 $c$ 是不行的。

2. 2

   把这一对数找出来。 $-30$ 的因数对有 $(1,-30),(2,-15),(3,-10),(5,-6),(6,-5),(10,-3)$ 等等。其中和为 $-1$ 的是 $5$ 与 $-6$。

3. 3

   拆开中间项再分组。

   $2x^{2}+5x-6x-15=0$

   $x(2x+5)-3(2x+5)=0$

   $(2x+5)(x-3)=0$

   两处出现同一个括号 $(2x+5)$，说明这个拆法是对的。

4. 4

   用「乘积为零」的性质。

   $2x+5=0\Rightarrow x=-\frac52,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   $\boxed{x=3\ \text{或}\ x=-\tfrac52}$

5. 5

   两个根都代回检验。 取 $x=3$：$2(9)-3-15=18-18=0$ ✓。取 $x=-\tfrac52$：$2\left(\tfrac{25}{4}\right)+\tfrac52-15=\tfrac{25}{2}+\tfrac52-15=15-15=0$ ✓。

6. 6

   再用韦达定理和判别式复核。 两根之和应为 $-b/a=\tfrac12$，之积应为 $c/a=-\tfrac{15}{2}$：$3-\tfrac52=\tfrac12$ ✓，$3\left(-\tfrac52\right)=-\tfrac{15}{2}$ ✓。判别式 $1+120=121=11^{2}$ 是完全平方数，这也正是这个二次式一开始就能在有理数范围内分解的原因。