解不等式 −4x² + 260x − 200 ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先除以负的二次项系数，同时把不等号反向。 每一项都除以 $-4$，二次项系数化为 1；但由于 $-4<0$，不等号必须反向：

   $-4x^2+260x-200\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-65x+50\ge 0$

   这一步是全题最容易错的地方；另一种同样正确的做法是保留原来开口向下的形式，直接讨论「图象落在横轴下方」的区间。

2. 2

   求出这个首项系数为 1 的二次式的根。 取 $a=1$、$b=-65$、$c=50$，

   $\Delta=(-65)^2-4(50)=4225-200=4025$

   而 $4025=25\cdot 161$，所以 $\sqrt{4025}=5\sqrt{161}$（$161=7\cdot 23$ 无平方因子，已经化到最简）。

3. 3

   把两个根精确写出来。

   $x=\frac{65\pm 5\sqrt{161}}{2}$

   由于 $5\sqrt{161}\approx 63.4429$，两根约为 $0.7786$ 和 $64.2214$。

4. 4

   用开口方向来挑区间。 抛物线 $x^2-65x+50$ 开口向上，所以它在两根之外才 $\ge 0$，在两根严格之间为负：

   $x\le \frac{65-5\sqrt{161}}{2}\qquad\text{或}\qquad x\ge \frac{65+5\sqrt{161}}{2}$

5. 5

   端点要算进去，并检验答案。 不等式是非严格的，所以两个根都属于解集（在那里原式正好等于 $0$）。检验：$x=0.5$ 时原式为 $-71\le 0$ ✓；$x=1$ 时为 $+56$，不满足，正确地把中间那段排除掉了；$x=65$ 时为 $-200\le 0$ ✓。