化简 0.8x + (1 − x)(0.2)。

Step-by-step solution

1. 1

   动手化简前先看清结构。 这是一个加权平均：占比为 $x$ 的那部分按 $0.8$ 的比率贡献，剩下的 $1-x$ 按 $0.2$ 的比率贡献。这种形状的式子常出现在混合、概率和混合费率问题里，知道这一点你就能预判化简结果必定是 $x$ 的一次式。

2. 2

   把 0.2 分配进括号。

   $0.2\cdot1=0.2,\qquad 0.2\cdot(-x)=-0.2x$

   于是表达式成为

   $0.8x+0.2-0.2x$

3. 3

   把同类项归拢。 两个 $x$ 项可以合并，那个孤单的常数不行：

   $(0.8x-0.2x)+0.2$

4. 4

   合并并写出结果。

   $0.8x-0.2x=0.6x\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x+0.2$

   斜率 $0.6$ 恰好是两个比率之差 $0.8-0.2$，而截距 $0.2$ 就是 $x=0$ 时的取值。

5. 5

   用两个端点做直觉检验。 $x=0$ 时式子应当就是纯低比率：$0.6(0)+0.2=0.2$ ✓。$x=1$ 时应当是纯高比率：$0.6(1)+0.2=0.8$ ✓。两个端点都正好落在加权平均这一解读所预测的位置上。

6. 6

   在随机取值上验证。 在 $[-5,5]$ 上随机取 $40$ 个 $x$，把原式与化简式逐点对比，每一点都在机器精度下一致 ✓，可见结论在 $[0,1]$ 之外同样成立。