等差数列满足 u3 + u5 - u6 = 6 且 u8 + u4 = 52。求 S = u2 + u4 + u6 + ... + u2020。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每个条件都用 $u_1$ 和 $d$ 表示。 由 $u_k=u_1+(k-1)d$： $u_3+u_5-u_6=(u_1+2d)+(u_1+4d)-(u_1+5d)=u_1+d=6$ $u_8+u_4=(u_1+7d)+(u_1+3d)=2u_1+10d=52\ \Longrightarrow\ u_1+5d=26$

2. 2

   解这个二元一次方程组。 第二式减第一式得 $4d=20$，于是 $d=5,\qquad u_1=6-5=1$

3. 3

   刻画偶数项构成的子数列。 $u_{2k}=1+(2k-1)\cdot 5=10k-4$，它本身就是一个等差数列，首项 $u_2=6$，公差为 $10$。

4. 4

   数一数有多少项。 下标依次是 $2,4,\dots,2020$，也就是 $k=1$ 到 $k=1010$，所以共 $1010$ 项，末项 $u_{2020}=10(1010)-4=10096$。

5. 5

   套等差数列求和公式。 $S=\frac{1010}{2}\left(u_2+u_{2020}\right)=505\,(6+10096)=505\cdot 10102=5101510$

6. 6

   直接累加确认。 用 Python 把这 $1010$ 项全部加起来同样得到 $5101510$，所以选 B。