解不等式 x² − 7x − 6 > 0。

Step-by-step solution

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   先试因式分解，试不通就赶紧放弃。 我们需要两个整数，积为 $-6$、和为 $-7$：候选里 $(1,-6)$ 的和是 $-5$，$(-1,6)$ 是 $5$，$(2,-3)$ 是 $-1$，$(-2,3)$ 是 $1$。一个都不合，所以根不是有理数，必须动用求根公式。

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   算判别式。

   $\Delta=(-7)^2-4(1)(-6)=49+24=73$

   $73$ 是质数，因此无平方因子，$\sqrt{73}$ 化不简，两个边界必然是无理数。$\Delta>0$ 保证有两个互不相同的实根。

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   求出两根。

   $x=\frac{7\pm\sqrt{73}}{2}$

   其中 $\sqrt{73}\approx 8.5440$，所以 $x_1\approx -0.7720$、$x_2\approx 7.7720$。

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   利用开口方向。 $x^2$ 的系数是 $+1>0$，抛物线开口向上，所以这个式子在两根之外为正，在两根之间为负：

   $x<\frac{7-\sqrt{73}}{2}\qquad\text{或}\qquad x>\frac{7+\sqrt{73}}{2}$

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   取点检验并定下端点。 当 $x=-1$：$1+7-6=2>0$ ✓（左侧区域）。当 $x=0$：得 $-6$，不成立 ✓（中间区域被排除）。当 $x=8$：$64-56-6=2>0$ ✓（右侧区域）。在两个根处式子都恰好等于 $0$，而不等号是严格的，所以两个边界都不包含在内。