解方程 √(4x² − 8x + 4) = 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先把被开方式因式分解，别急着两边平方。 $4x^2-8x+4 = 4\left(x^2-2x+1\right) = 4(x-1)^2.$ 认出这个完全平方，问题就变成一行就能写完的绝对值方程。

2. 2

   化简根式时要写 |a| 而不是 a。 $\sqrt{4(x-1)^2} = 2\left|x-1\right|$——这个绝对值不能省，因为 $\sqrt{t^2}=|t|$，而不是 $t$。于是方程成为 $2|x-1| = 5.$

3. 3

   把绝对值单独留在一边。 $|x-1| = \frac52.$

4. 4

   分成两种情形。 $x-1 = \frac52 \quad\text{或}\quad x-1 = -\frac52,$ 得到 $x = \frac72 \quad\text{或}\quad x = -\frac32.$

5. 5

   两个根都验一下。 当 $x=\tfrac72$：$4(12.25)-8(3.5)+4 = 49-28+4 = 25$，而 $\sqrt{25}=5$。当 $x=-\tfrac32$：$4(2.25)+12+4 = 9+12+4 = 25$，同样 $\sqrt{25}=5$。两个都是真解。

6. 6

   想想丢掉绝对值会付出什么代价。 若写成 $\sqrt{4(x-1)^2} = 2(x-1)$，就只能得到 $x=\tfrac72$，那个负根会被悄无声息地丢掉。