解方程 2^x + x = 5，求 x。

Step-by-step solution

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   先认清这道题没有解析解。 未知数既出现在指数上，又作为一次项出现。对数分不开它们：对 $2^{x}+x$ 取 $\ln$ 并不会化简，因为和的对数不等于对数的和。所以老老实实走数值路线。

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   确认根恰好只有一个，并把它夹住。 令 $f(x)=2^{x}+x-5$。$2^{x}$ 与 $x$ 都严格递增，所以 $f$ 严格递增，最多只能穿过零点一次。代值：

   $f(1)=2+1-5=-2<0,\qquad f(2)=4+2-5=1>0$

   连续函数上出现变号就保证 $(1,2)$ 内有根，而单调性保证这是唯一的根。

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   试算若干点，把区间收窄。

   $f(1.5)=2^{1.5}+1.5-5\approx2.8284+1.5-5=-0.6716<0$

   $f(1.7)\approx3.2490+1.7-5=-0.0510<0,\qquad f(1.72)\approx3.2943+1.72-5=+0.0143>0$

   所以根在 $1.70$ 与 $1.72$ 之间，而且已经很靠近 $1.72$。

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   二分到收敛。 反复把区间 $[1.7,1.72]$ 对半分，每次保留发生变号的那一半，最终收敛到

   $x\approx1.7156207$

   检验：$2^{1.7156207}+1.7156207=5.0000000$，误差在 $10^{-6}$ 以内 ✓。

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   四舍五入要当心 —— 第三位小数是有讲究的。 保留三位小数时根是 $x\approx1.716$，不是 $1.717$：代入 $1.717$ 得 $2^{1.717}+1.717\approx5.00452$，比 $5$ 冒出了约 $0.004$。因为在根附近 $f$ 的增长速度约为每单位 $2.9$，$x$ 上 $0.001$ 的误差会让 $f$ 挪动约 $0.003$ —— 这已经看得出来了，所以多带一位有效数字是值得的。