设复数 z 满足：(z - 1) 的共轭乘以 (4 + 8i) 等于 2。求 |z| 的平方的值。

Step-by-step solution

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   先想清楚为什么不能只对两边取模。 两边取模得 $|z-1|\cdot|4+8i|=2$，即 $|z-1|=\tfrac{2}{\sqrt{80}}$。这是 $z$ 到 $1$ 的距离，而不是 $|z|$，因此定不出 $|z|^2$。我们必须把 $z$ 本身求出来。

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   分离出共轭，并把分母有理化。 两边同除以 $4+8i=4(1+2i)$，再分子分母同乘分母的共轭：

   $\overline{(z-1)}=\frac{2}{4(1+2i)}=\frac{1}{2(1+2i)}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{1-2i}{2(1+4)}=\frac{1-2i}{10}.$

3. 3

   两边取共轭，去掉共轭符号。 共轭运算是它自身的逆运算，即 $\overline{\overline{w}}=w$，所以

   $z-1=\overline{\left(\frac{1-2i}{10}\right)}=\frac{1+2i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i.$

4. 4

   解出 $z$。 两边加 $1$：

   $z=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i=\frac{11}{10}+\frac{1}{5}i.$

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   套用 $|z|^2=a^2+b^2$。 这里 $a=\tfrac{11}{10}$，$b=\tfrac15$：

   $|z|^2=\frac{121}{100}+\frac{1}{25}=\frac{121}{100}+\frac{4}{100}=\frac{125}{100}=\frac54.$

   验算：$\overline{(z-1)}(4+8i)=\left(\tfrac{1-2i}{10}\right)(4+8i)=\tfrac{4+8i-8i+16}{10}=2$，与题设相符。