已知 x = (√3 + 1)/(√3 − 1)，y = (√3 − 1)/(√3 + 1)，求 x + y、xy、x² + y²、x³ + y³ 以及 4x² + 7xy + 4y² 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先把两个分母有理化——根号一旦离开分母，后面每一步都变得轻而易举。 分子分母同乘分母的共轭式：

   $x=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$

   $y=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$

   可以看到 $x$ 和 $y$ 恰好是一对共轭数，而且 $y=1/x$：这两个分式一开始就互为倒数。

2. 2

   先算出两个最基本的对称式。 剩下的每一个式子都能由它们拼出来，所以这是全题唯一真正需要计算的地方：

   $x+y=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$

   $xy=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$

   两个式子里的根号都抵消了——这正是我们要用 $x+y$ 和 $xy$ 来处理，而不是分别去算 $x$、$y$ 的原因。

3. 3

   由和的平方得到 $x^2+y^2$。 展开 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ 后移项，

   $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2(1)=14.$

4. 4

   由和的立方得到 $x^3+y^3$。 因为 $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$，

   $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=4^3-3(1)(4)=64-12=52.$

   （用因式分解 $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=4(14-1)=52$ 也得到同样的值，可以互相印证。）

5. 5

   把最后一个式子重新分组，让它只用已知量表示。

   $4x^2+7xy+4y^2=4(x^2+y^2)+7xy=4(14)+7(1)=56+7=63.$

   窍门是拆开中间那项的系数：写成 $7xy=8xy-xy$ 也可以，但直接提出 $4(x^2+y^2)$ 更短。

6. 6

   用数值检验。 $x=2+\sqrt3\approx3.7320508$，$y=2-\sqrt3\approx0.2679492$。于是 $x+y\approx4.000000$，$xy\approx1.000000$，$x^3+y^3\approx51.999999$，$4x^2+7xy+4y^2\approx63.000000$，与精确值完全吻合。