把 (x + 1)/(x − 1)² 分解成部分分式。

Step-by-step solution

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   遇到重因式要选对拆分模板。 因式 $(x-1)^2$ 需要为每一个不超过重数的幂次各配一项，而不是只配最高次那一项：

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   如果只写 $\tfrac{B}{(x-1)^2}$，待定系数太少，配不出一次的分子。

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   去分母。 两边同乘 $(x-1)^2$：

   $x+1=A(x-1)+B$

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   展开并按 $x$ 的幂次归项。

   $x+1=Ax-A+B=Ax+(B-A)$

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   比较系数。 $x$ 的系数给出 $A=1$；常数项给出 $B-A=1$，于是

   $B=1+A=2$

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   写出结果并检验。

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   反过来通分：$\tfrac{(x-1)+2}{(x-1)^2}=\tfrac{x+1}{(x-1)^2}$ $\checkmark$。再取 $x=3$ 代数值验证：左边 $=\tfrac44=1$，右边 $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$。