解方程 |2a + 7| + |2a − 1| = 8。

Step-by-step solution

1. 1

   找出折点。 每个绝对值都在它内部表达式为零的地方换一次表达式：

   $2a+7=0\Rightarrow a=-\frac72,\qquad 2a-1=0\Rightarrow a=\frac12$

   这两个点把数轴分成 $a<-\tfrac72$、$-\tfrac72\le a<\tfrac12$ 和 $a\ge\tfrac12$ 三段。

2. 2

   在动手解之前先判断答案会长什么样。 注意 $|2a+7|+|2a-1|=2\left(\left|a+\tfrac72\right|+\left|a-\tfrac12\right|\right)$，也就是 $a$ 到 $-\tfrac72$ 和到 $\tfrac12$ 的距离之和的两倍。这两点之间相距 $4$，所以左边可能取到的最小值是 $2\times4=8$ —— 恰好就是右边。这说明方程问的其实是最小值在哪里取到，而最小值是在一整条线段上取到的，不是在孤立点上。

3. 3

   情形 1：a < −7/2（两个绝对值内部都为负）。 此时

   $(-2a-7)+(-2a+1)=-4a-6=8\Rightarrow-4a=14\Rightarrow a=-\frac72$

   这与严格条件 $a<-\tfrac72$ 矛盾，所以这一情形没有带来新解（$-\tfrac72$ 这个值会在情形 2 里被收进来）。

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   情形 2：−7/2 ≤ a < 1/2（内部符号一正一负）。 这里 $|2a+7|=2a+7$，$|2a-1|=-2a+1$，含 $a$ 的项正好抵消：

   $(2a+7)+(-2a+1)=8$

   它退化成恒等式 $8=8$，对区间里的每一个 $a$ 都成立。所以整个区间 $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$ 都是解。

5. 5

   情形 3：a ≥ 1/2（两个绝对值内部都非负）。

   $(2a+7)+(2a-1)=4a+6=8\Rightarrow a=\frac12$

   它满足 $a\ge\tfrac12$，所以 $a=\tfrac12$ 要算进来。

6. 6

   把各情形并起来写出答案。 情形 2 给出 $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right)$，情形 3 又补上端点 $\tfrac12$：

   $-\frac72\le a\le\frac12$

   在这个闭区间之外，左边严格大于 $8$，所以再没有别的解。

7. 7

   用扫描法验证。 在 $-6$ 到 $6$ 上取 $12001$ 个点算左边的值：恰好在 $\left[-\tfrac72,\tfrac12\right]$ 上等于 $8$，其余各处都严格更大 ✓。