把 x² + x − 12 分解到底。

Step-by-step solution

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   先把「找两个数」的框架搭好。 对首项系数为 $1$ 的二次式 $x^{2}+bx+c$，分解形式是 $(x+m)(x+n)$，其中 $mn=c$、$m+n=b$。这里 $c=-12$、$b=+1$（孤零零的 $x$ 系数就是 $1$），所以要找两个数，乘积是 $-12$、和是 $1$。

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   用符号把搜索范围砍一半。 乘积 $-12$ 是负的，所以两个数必然异号。而和 $+1$ 是个小的正数，说明正数那个的绝对值更大——恰好大 $1$。

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   把 $-12$ 的异号因数对及其和列出来。

   $(1,-12)\to-11,\quad(12,-1)\to11,\quad(2,-6)\to-4,\quad(6,-2)\to4,\quad(3,-4)\to-1,\quad(4,-3)\to1\ \checkmark$

   只有 $4$ 和 $-3$ 的和符合要求，且 $4\times(-3)=-12$ ✓。

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   写出分解结果。

   $x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)$

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   展开检验——选错数对就在这一步露馅。 $(x+4)(x-3)=x^{2}-3x+4x-12=x^{2}+x-12$ ✓。一次项系数是两数之和，常数项是两数之积，所以常数项要是对不上，就说明这对数选错了。该恒等式在 $-40$ 到 $39$ 的每个整数处都验证通过 ✓。

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   顺带读出方程的根。 表达式在 $x=-4$ 和 $x=3$ 处为零，这就是 $x^{2}+x-12=0$ 的解。判别式 $1^{2}-4(1)(-12)=49=7^{2}$ 是完全平方数——这正是「一定存在整数因式」的保证。