把 (xy − 1)² + (x + y − 2)(x + y − 2xy) 完全分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平方展开。 用 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，取 $a=xy$、$b=1$：

   $(xy-1)^{2}=x^{2}y^{2}-2xy+1.$

2. 2

   把乘积拆成两半来展开。 把第一个括号写成 $(x+y)-2$：

   $(x+y)(x+y-2xy)=(x+y)^{2}-2xy(x+y)=x^{2}+2xy+y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2},$

   $-2(x+y-2xy)=-2x-2y+4xy.$

   相加得：

   $x^{2}+y^{2}+6xy-2x^{2}y-2xy^{2}-2x-2y.$

   其中 $6xy$ 来自 $2xy+4xy$——把这两处分别来的贡献合并起来，是最容易出错的一步。

3. 3

   把两部分加到一起。 与展开后的平方合并，并把 $xy$ 项归并（$-2xy+6xy=4xy$）：

   $x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1.$

   一共九项，且交换 $x$ 与 $y$ 后保持不变——这强烈暗示分解结果也应该是对称的。

4. 4

   看出这是一个完全平方。 考虑 $t=xy-x-y+1$，把它平方：

   $t^{2}=x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1-2x^{2}y-2xy^{2}+2xy+2xy-2x-2y=x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1,$

   与前面展开的结果一模一样。所以整个式子就等于 $t^{2}$。

5. 5

   再分解 $t$，写出答案。 分组得 $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$，于是

   $(xy-1)^{2}+(x+y-2)(x+y-2xy)=\left[(x-1)(y-1)\right]^{2}=(x-1)^{2}(y-1)^{2}.$

   因此原式永远不会是负数，且恰在 $x=1$ 或 $y=1$ 时取到零。取 $(x,y)=(1.8,-0.4)$ 做数值检验：两种形式都得 $1.2544$ ✓，另外随机取两组数也能吻合到九位有效数字。