解不等式 (14^x − 7^(x+1) − 2^(x+1) + 14)/(−x² + 4x) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把每个指数式都改写到底数 $2$ 和底数 $7$ 上。 因为 $14=2\cdot 7$，所以 $14^x=2^x7^x$；同样 $7^{x+1}=7\cdot 7^x$，$2^{x+1}=2\cdot 2^x$。于是分子变成 $2^x7^x-7\cdot 7^x-2\cdot 2^x+14$。

2. 2

   把这四项分组，凑成乘积。 $7^x(2^x-7)-2(2^x-7)=(7^x-2)(2^x-7)$。零点是 $7^x=2\Rightarrow x=\log_7 2\approx 0.356$ 和 $2^x=7\Rightarrow x=\log_2 7\approx 2.807$。

3. 3

   分母也分解。 $-x^2+4x=x(4-x)$，它在 $x=0$ 和 $x=4$ 处为零，这两点都要从定义域中排除。把四个关键值排序，得到 $0<\log_7 2<\log_2 7<4$。

4. 4

   判断分子的符号。 当 $x<\log_7 2$ 时 $(7^x-2)$ 为负，之后为正；当 $x<\log_2 7$ 时 $(2^x-7)$ 为负，之后为正。所以乘积在 $(-\infty,\log_7 2)$ 上为正，在 $(\log_7 2,\log_2 7)$ 上为负，在 $(\log_2 7,\infty)$ 上为正。

5. 5

   判断分母的符号。 $x(4-x)$ 是开口向下的抛物线，两根为 $0$ 和 $4$：在 $[0,4]$ 之外为负，在两根严格之间为正。

6. 6

   合起来，挑出商非负的区间。 $(-\infty,0)$：$+/-=-$。$(0,\log_7 2)$：$+/+=+$。$(\log_7 2,\log_2 7)$：$-/+=-$。$(\log_2 7,4)$：$+/+=+$。$(4,\infty)$：$+/-=-$。分子的两个零点可以取到，因为不等号不是严格的，而且分母在那里不为零。

7. 7

   在每个入选区间里各抽一点验算。 取 $x=0.2$，分子是 $14^{0.2}-7^{1.2}-2^{1.2}+14\approx 3.067$，分母是 $0.76$，商约为 $4.04>0$。取 $x=3$，分子是 $2744-2401-16+14=341$，分母是 $-9+12=3$，商为 $\tfrac{341}{3}\approx 113.7>0$。