解方程组：(1/3)x − (1/3)y = −1 − m；−(1/3)x + y − (1/2)z = −4w；(5/6)z − (1/2)y = 4w + m；x = 30 + z；y = 6w。

Step-by-step solution

1. 1

   先用两个现成的代换把未知数个数压下来。 最后两个方程直接给出 $x=30+z$ 和 $y=6w$，于是只剩 $z$、$w$、$m$ 三个未知数。代入第一个方程：

   $\frac13(30+z)-\frac13(6w)=-1-m\;\Longrightarrow\;10+\frac{z}{3}-2w=-1-m,$

   所以

   $m=-11-\frac{z}{3}+2w.$

2. 2

   把第二个方程化成 $w$ 与 $z$ 之间的关系。

   $-\frac13(30+z)+6w-\frac{z}{2}=-4w\;\Longrightarrow\;-10-\frac{z}{3}-\frac{z}{2}+6w=-4w.$

   因为 $\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56$，这就是 $-10-\tfrac56z+10w=0$，于是

   $w=1+\frac{z}{12}.$

   这个方程里完全不含 $m$，正是它让整个方程组不必大费周章地消元就能解出来。

3. 3

   化简第三个方程。 把 $y=6w$ 代进去，

   $\frac56z-3w=4w+m\;\Longrightarrow\;m=\frac56z-7w.$

4. 4

   让 $m$ 的两个表达式相等，解出 $z$。

   $\frac56z-7w=-11-\frac{z}{3}+2w\;\Longrightarrow\;\frac76z+11=9w.$

   再代入 $w=1+\tfrac{z}{12}$，即 $9w=9+\tfrac34z$：

   $\frac76z+11=9+\frac34z\;\Longrightarrow\;\left(\frac{14}{12}-\frac{9}{12}\right)z=-2\;\Longrightarrow\;\frac{5}{12}z=-2\;\Longrightarrow\;z=-\frac{24}{5}.$

5. 5

   回代求出其余四个未知数。

   $w=1-\frac{24}{60}=\frac35,\quad y=6w=\frac{18}{5},\quad x=30-\frac{24}{5}=\frac{126}{5},\quad m=\frac56\left(-\frac{24}{5}\right)-7\cdot\frac35=-4-\frac{21}{5}=-\frac{41}{5}.$

6. 6

   把五个方程逐一精确验证。 写成小数是 $x=25.2$、$y=3.6$、$z=-4.8$、$w=0.6$、$m=-8.2$。用有理数运算逐条核对：$\tfrac13(25.2)-\tfrac13(3.6)=7.2=-1-(-8.2)$ ✓；$-8.4+3.6+2.4=-2.4=-4(0.6)$ ✓；$-4+(-1.8)=-5.8=4(0.6)+(-8.2)$ ✓；$30-4.8=25.2$ ✓；$6(0.6)=3.6$ ✓。五个全部成立，所以方程组相容，且解唯一。