解方程 2(x² + 1/x²) − 11(x − 1/x) + 8 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   按式子里出现的那个括号来选换元。 方程里出现的是 $x-\tfrac1x$，所以令

   $t=x-\frac1x\qquad(x\neq 0)$

   两边平方得 $t^{2}=x^{2}-2+\tfrac{1}{x^{2}}$，于是

   $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

   注意这里是加 $2$。若换成另一个常见的换元 $t=x+\tfrac1x$，这个常数就是 $-2$；把两者搞混是最经典的错误。

2. 2

   用 t 改写方程。

   $2\left(t^{2}+2\right)-11t+8=0\quad\Longrightarrow\quad 2t^{2}-11t+12=0$

3. 3

   解这个关于 t 的二次方程。

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{4}=\frac{11\pm 5}{4}\quad\Longrightarrow\quad t=4\ \text{或}\ t=\frac32$

4. 4

   把 t = 4 换回去。

   $x-\frac1x=4\ \Longrightarrow\ x^{2}-4x-1=0\ \Longrightarrow\ x=2\pm\sqrt5$

   判别式为 $16+4=20>0$，所以两个根都是实数。

5. 5

   把 t = 3/2 换回去。

   $x-\frac1x=\frac32\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-3x-2=0\ \Longrightarrow\ (2x+1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{或}\ x=-\frac12$

   $\boxed{x=2+\sqrt5,\ 2-\sqrt5,\ 2,\ -\tfrac12}$

6. 6

   说明为什么四个根全都保留，并验算一个。 与用 $t=x+\tfrac1x$ 的那道姊妹题不同（那里 $|t|\ge 2$ 会把某些分支筛掉），$t=x-\tfrac1x$ 能取到任意实数值，所以两个分支都不用排除。以 $x=2$ 验算：$x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$，$x-\tfrac1x=1.5$，代入得 $2(4.25)-11(1.5)+8=8.5-16.5+8=0$ ✓。