解不等式 ax² + (1 − a)x − 1 < 0，其中 a 是实参数。请讨论所有情形。

Step-by-step solution

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   先因式分解——比套求根公式干净得多。 试着写成 $(x-1)(ax+1)$ 并展开：

   $(x-1)(ax+1)=ax^2+x-ax-1=ax^2+(1-a)x-1\ \checkmark$

   所以不等式就是

   $(x-1)(ax+1)<0$

   于是两个根分别是 $x=1$——它固定不动，与 $a$ 无关——以及 $a\neq0$ 时的 $x=-\tfrac1a$。

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   先把退化情形 a = 0 处理掉。 当 $a=0$ 时 $x^2$ 项消失，不等式退化成一次的：

   $x-1<0\quad\Longrightarrow\quad x<1$

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   情形 a > 0：开口向上，两根顺序固定。 因为 $a>0$，有 $-\tfrac1a<0<1$，所以那个会移动的根总在 $1$ 的左边。开口向上的抛物线在两根之间取负值：

   $-\frac1a<x<1$

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   要看出 a < 0 还必须再分——这里正是多数解答翻车的地方。 当 $a<0$ 时 $-\tfrac1a$ 是正的，而它与 $1$ 的大小关系取决于 $a$ 的绝对值：

   $-1<a<0\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a>1,\qquad a=-1\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a=1,\qquad a<-1\ \Longrightarrow\ 0<-\tfrac1a<1$

   比如 $a=-\tfrac12$ 给出 $-\tfrac1a=2>1$，而 $a=-3$ 给出 $-\tfrac1a=\tfrac13<1$。断言对所有负的 $a$ 都有 $-\tfrac1a>1$，纯属错误。

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   情形 −1 < a < 0。 抛物线开口向下，两根的顺序是 $1<-\tfrac1a$。开口向下的抛物线在两根之外取负值：

   $x<1\qquad\text{或}\qquad x>-\frac1a$

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   情形 a < −1，以及分界点 a = −1。 当 $a<-1$ 时两根互换位置，变成 $-\tfrac1a<1$，于是「两根之外」现在读作

   $x<-\frac1a\qquad\text{或}\qquad x>1$

   而恰好在 $a=-1$ 时两根合并：$ax^2+(1-a)x-1=-x^2+2x-1=-(x-1)^2$，它对除 $x=1$ 以外的每个 $x$ 都为负，在 $x=1$ 处为零。所以此时的解集是 $x\neq1$，即 $\mathbb{R}\setminus\{1\}$。

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   把整张分类表拿去数值验证。 让 $a$ 从 $-6$ 到 $6$ 以 $\tfrac14$ 为步长取 $49$ 个值，对每个 $a$ 再在 $[-8,8]$ 上取 $8001$ 个精确有理数 $x$：上面这套五情形描述与 $ax^2+(1-a)x-1$ 的实际符号在每一个点上都吻合——零处不符 ✓。而三情形的版本立刻就崩，例如 $a=-3$、$x=0.34$ 处它预测为负，实际值却是 $+0.0132$。