解复合不等式 8 < 60(1 + x)/7 < 9。

Step-by-step solution

1. 1

   先预判答案大致在哪。 取 $x=0$，中间的式子是 $\tfrac{60}{7}=8.571$，已经落在目标区间 $(8,9)$ 之内。所以 $x=0$ 本身就是一个解，解集必然跨过零——一个端点为负，一个端点为正。

2. 2

   三段同乘 7。 乘数是正数，两个不等号的方向都不变：

   $56<60(1+x)<63$

3. 3

   三段同除 60，顺手约分。

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{63}{60}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{21}{20}$

   （$56$ 与 $60$ 有公因数 $4$；$63$ 与 $60$ 有公因数 $3$。）

4. 4

   三段同减 1。

   $\frac{14}{15}-\frac{15}{15}<x<\frac{21}{20}-\frac{20}{20}$

   $-\frac{1}{15}<x<\frac{1}{20}$

   一负一正两个端点，与前面的预判完全吻合——而且 $0$ 确实落在区间内 ✓。

5. 5

   和同系列的题目对照一下。 把目标窗口整体上移一格，从 $(7,8)$ 变成 $(8,9)$，解集就从全是负数的 $\left(-\tfrac{11}{60},-\tfrac{1}{15}\right)$ 变成了现在这个含零的区间。目标范围每变化一个单位，对应的 $x$ 区间宽度就是 $\tfrac{7}{60}$，因为 $\tfrac{60(1+x)}{7}$ 每变化一个单位，$x$ 就相应变化 $\tfrac{7}{60}$。

6. 6

   把两个端点精确验一遍。 当 $x=-\tfrac{1}{15}$ 时 $1+x=\tfrac{14}{15}$，$\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=8$ ✓；当 $x=\tfrac{1}{20}$ 时 $1+x=\tfrac{21}{20}$，$\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{21}{20}=\tfrac{63}{7}=9$ ✓。原不等式用的是严格不等号，所以区间两端都取不到，写成开区间。