解方程 3x^2 + 5x - 6 = 0。

Step-by-step solution

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   先认系数。 对照一般式 $ax^{2}+bx+c=0$ 读出：

   $a=3,\qquad b=5,\qquad c=-6$

   注意 $c=-6$ 是带负号的 —— 把这个负号正确地带进判别式，是这道题的关键所在。

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   先算判别式。

   $\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4(3)(-6)=25+72=97$

   两个负号相乘，使 $-4ac$ 这一项变成正的 $72$。由 $\Delta=97>0$ 知有两个不同的实根；但 $97$ 是质数 —— 因此它不是完全平方数，两根是无理数，$3x^{2}+5x-6$ 也不存在整数因式分解。

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   代入求根公式。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{2(3)}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{6}$

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   确认已经无法再化简。 $97$ 不含平方因数，所以 $\sqrt{97}$ 开不出来；而 $-5$、$1$ 与 $6$ 也没有公因数，所以分数就保持这个样子。两个根是

   $x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}\approx0.808143,\qquad x=\frac{-5-\sqrt{97}}{6}\approx-2.474810$

5. 5

   用韦达定理和代入法验证。 两根之和应为 $-b/a=-\tfrac53$：$\dfrac{-5+\sqrt{97}}{6}+\dfrac{-5-\sqrt{97}}{6}=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac53$ ✓。两根之积应为 $c/a=-2$：$\dfrac{25-97}{36}=\dfrac{-72}{36}=-2$ ✓。把任一个根代进 $3x^{2}+5x-6$，余项都小于 $10^{-11}$ ✓。