解不等式 |3x + 1| − 2x < |x − 4| + 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先找分段点。 每个绝对值都在里面的式子为零处换写法：$3x+1=0$ 给出 $x=-\frac13$，$x-4=0$ 给出 $x=4$。这两个点把数轴切成三段，在每一段上两个绝对值符号都能按固定的正负号去掉。

2. 2

   情形 1：$x<-\frac13$。 两个绝对值里面都是负的，于是 $|3x+1|=-3x-1$、$|x-4|=-x+4$：

   $(-3x-1)-2x<(-x+4)+5\quad\Rightarrow\quad -5x-1<-x+9\quad\Rightarrow\quad -10<4x\quad\Rightarrow\quad x>-\frac52$

   再与 $x<-\frac13$ 求交集，得 $-\frac52<x<-\frac13$。

3. 3

   情形 2：$-\frac13\le x<4$。 此时 $3x+1\ge 0$，但 $x-4<0$：

   $3x+1-2x<-x+4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<-x+9\quad\Rightarrow\quad 2x<8\quad\Rightarrow\quad x<4$

   这正好就是我们讨论的这一段本身，所以整个区间 $\left[-\frac13,4\right)$ 全都满足。

4. 4

   情形 3：$x\ge 4$。 两个绝对值里面都非负：

   $3x+1-2x<x-4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<x+1$

   两边完全恒等，而一个数永远不会严格小于自己。所以这一段没有贡献——顺带注意，如果不等号是 $\le$ 而不是 $<$，整条射线 $x\ge 4$ 就都成立了。

5. 5

   把各段合并起来。

   $\left(-\tfrac52,-\tfrac13\right)\cup\left[-\tfrac13,4\right)=\left(-\tfrac52,4\right)$

   分段点 $-\frac13$ 落在并集内部，所以那里不会漏掉什么。

6. 6

   验端点，再验一个内部点。 取 $x=-\frac52$ 时两边都等于 $\frac{23}{2}$，严格不等号不成立，所以端点排除。取 $x=4$ 时两边都等于 $5$ —— 同样排除，与情形 3 的结论一致。取 $x=0$：左边 $=1$，右边 $=9$，$1<9$ 成立 ✓。所以解集是 $-\frac52<x<4$。