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Algebra · real student question

解出 x:8.8 - 10000x = 1010000x + 6000。

Question

解出 xx:

8.8−10000x=1010000x+6000.8.8-10000x=1010000x+6000.

Step-by-step solution

  1. 动笔之前先估一下答案的量级。 xx 的系数很大(10410^{4} 与 10610^{6}),常数却不大,所以 xx 必然很小。又因为左边只有 8.88.8 却要对上 60006000,含 xx 的那一项必须是负的 —— 所以可以预料答案是一个很小的负数。

  2. 把含 xx 的项收起来。 两边同加 10000x10000x,把它们全部移到右边,同时保持系数为正:

    8.8=1010000x+10000x+6000=1020000x+6000.8.8=1010000x+10000x+6000=1020000x+6000.

    用加而不是减,就避免了首项系数为负以及随之而来的变号问题。

  3. 把常数收起来。 两边同减 60006000:

    8.8−6000=1020000x  ⟹  −5991.2=1020000x.8.8-6000=1020000x\;\Longrightarrow\;-5991.2=1020000x.

    左边是负的,与第 1 步的预判一致。

  4. 作除法把 xx 解出来。 两边同除以 10200001020000:

    x=−5991.21020000=−0.00587372549…≈−0.005874.x=\frac{-5991.2}{1020000}=-0.00587372549\ldots\approx-0.005874.

    写成精确分数:分子分母同乘 1010 得 x=−5991210200000=−74891275000x=-\tfrac{59912}{10200000}=-\tfrac{7489}{1275000}。

  5. 分别算两边核对。 取 x=−0.00587372549x=-0.00587372549:

    8.8−10000x=8.8+58.7372549=67.5372549,8.8-10000x=8.8+58.7372549=67.5372549,

    1010000x+6000=−5932.4627449+6000=67.5372551✓.1010000x+6000=-5932.4627449+6000=67.5372551 ✓.

    两边小数后六位一致,量级也正是第 1 步预判的「很小的负数」。

Answer

x=−5991.21020000=−74891275000≈−0.0058737x=\frac{-5991.2}{1020000}=-\frac{7489}{1275000}\approx-0.0058737

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