把 x³ + 3x² − 4 分解到底。

Step-by-step solution

1. 1

   先列出可能的有理根。 首项系数是 $1$，所以任何有理根都整除常数项 $-4$：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$

2. 2

   试一试绝对值小的候选。 记 $f(x)=x^3+3x^2-4$：

   $f(1)=1+3-4=0$

   所以 $x=1$ 是根，$(x-1)$ 是一个因式。（注意原式缺一次项，它的系数是 $0$，做除法时这一点很关键。）

3. 3

   用综合除法除以 $(x-1)$。 把系数 $1,\,3,\,0,\,-4$ 依次落下，除数取 $1$：

   $1\quad 4\quad 4\ \ |\ \ 0$

   余数为零印证了这个根，商是 $x^2+4x+4$。

4. 4

   再分解这个商。 它是完全平方：$4=2^2$ 且 $2\cdot x\cdot 2=4x$：

   $x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\Longrightarrow\quad x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$

5. 5

   从展开和二重根两方面检验。 $(x-1)(x+2)^2=(x-1)(x^2+4x+4)=x^3+3x^2-4$ $\checkmark$。另外 $f(-2)=-8+12-4=0$，而由于 $-2$ 是二重根，图像在那里只与坐标轴相切，并不穿过。