把 a⁴ + 4b⁴ 分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   先认清障碍。 这是一个和，而两个平方的和——$\left(a^{2}\right)^{2}+\left(2b^{2}\right)^{2}$——在实数范围内通常是分解不了的。诀窍是人为造出一个平方差：加上一项，再马上减掉它，值一点没变，结构却显出来了。

2. 2

   加上再减去 $4a^{2}b^{2}$。 这个选择不是随手挑的：$4a^{2}b^{2}$ 恰好是 $a^{2}$ 与 $2b^{2}$ 乘积的两倍，正是完全平方所需要的交叉项：

   $a^{4}+4b^{4}=\underbrace{a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}}_{\text{完全平方}}-4a^{2}b^{2}$

3. 3

   把前三项收成一个平方。

   $a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}$

   于是原式就变成了一个货真价实的平方差：

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-(2ab)^{2}$

4. 4

   套用 $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$，其中 $A=a^{2}+2b^{2}$，$B=2ab$：

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}-2ab\right)\left(a^{2}+2b^{2}+2ab\right)$

   把每个括号按 $a$ 的降幂重新排列，就得到索菲·热尔曼恒等式的标准写法：

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)$

5. 5

   验证，并说明两个因式不可再分。 在 $-7\le a,b\le7$ 范围内全部 $225$ 组整数上展开这个乘积，都精确还原出 $a^{4}+4b^{4}$ ✓。抽查 $a=1,b=1$：$1+4=5$，而 $(1-2+2)(1+2+2)=1\cdot5=5$ ✓。把每个二次因式看成关于 $a$ 的二次式，判别式都是 $4b^{2}-8b^{2}=-4b^{2}<0$，所以在实数范围内都不能再分——这已经是完全分解。

6. 6

   看看它有什么用。 取 $b=1$，恒等式给出 $a^{4}+4=\left(a^{2}-2a+2\right)\left(a^{2}+2a+2\right)$，由此可以证明：对每个整数 $a>1$，$a^{4}+4$ 都是合数——这正是该恒等式在数论中的经典应用。