解方程组 x² + y² + xy = 7 与 x + y + xy = 5。

Step-by-step solution

1. 1

   引入基本对称量。 两个方程对 $x$、$y$ 都是对称的，所以令

   $s=x+y,\qquad p=xy$

   利用 $x^{2}+y^{2}=s^{2}-2p$，第一个方程变成

   $s^{2}-2p+p=s^{2}-p=7$

   第二个方程就直接是 $s+p=5$。

2. 2

   解这个关于 s、p 的小方程组。 由第二式得 $p=5-s$，代入第一式：

   $s^{2}-(5-s)=7\quad\Longrightarrow\quad s^{2}+s-12=0\quad\Longrightarrow\quad (s+4)(s-3)=0$

   所以 $s=3$ 或 $s=-4$。

3. 3

   检验 s = 3 这一支。 此时 $p=5-3=2$，而 $x,y$ 是下列方程的两根：

   $t^{2}-st+p=t^{2}-3t+2=0\quad\Longrightarrow\quad (t-1)(t-2)=0$

   于是 $\{x,y\}=\{1,2\}$。

4. 4

   检验 s = −4 这一支。 此时 $p=5-(-4)=9$，$x,y$ 将是下列方程的两根：

   $t^{2}+4t+9=0$

   它的判别式是 $16-36=-20<0$。这一支给不出任何实数解，必须舍去 —— 检查 $s^{2}\ge 4p$ 正是判断一对对称量能否在实数范围内实现的标准做法。

5. 5

   写出解。

   $\boxed{(x,y)=(1,2)\ \text{或}\ (2,1)}$

6. 6

   验证。 对 $(1,2)$：$1+4+2=7$ ✓，$1+2+2=5$ ✓。$(2,1)$ 同样成立，因为方程组是对称的 —— 这也正好解释了为什么解总是成对出现、互相交换，而不是单独冒出一个。