解方程 x² + 3x + 6 = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常数移过去，化成标准形式。 两边减去 $1$：

   $x^2+3x+5=0$

   常数项变成 $5$ 而不是 $7$ —— 漏掉这一步是最常见的错误，因为求根公式里的 $c$ 必须取自等于零的那个形式。

2. 2

   计算判别式。 取 $a=1$，$b=3$，$c=5$，

   $\Delta=3^2-4(1)(5)=9-20=-11$

   判别式为负，说明抛物线根本碰不到 $x$ 轴：没有实数解。（事实上 $x^2+3x+6$ 的最小值是 $6-\frac94=3.75$，远高于 $1$。）

3. 3

   照样套求根公式，只是在复数范围内。

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{-11}}{2}$

4. 4

   用 $i$ 改写这个负数的根式。 由于 $\sqrt{-11}=i\sqrt{11}$，

   $x=\frac{-3\pm i\sqrt{11}}{2}$

   两个解互为共轭复数，这对 $\Delta<0$ 的实系数二次方程来说总是如此。

5. 5

   用根之和与根之积验证。 两根之和应为 $-b/a=-3$：确实 $\frac{-3+i\sqrt{11}}{2}+\frac{-3-i\sqrt{11}}{2}=-3$ ✓。两根之积应为 $c/a=5$：

   $\frac{(-3)^2-\left(i\sqrt{11}\right)^2}{4}=\frac{9+11}{4}=5$ ✓