解不等式 (10^x − 25·2^x − 2·5^x + 50)/(5x − x² − 4) ≥ 0。

Step-by-step solution

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   把 $10^x$ 拆成素数底。 因为 $10=2\cdot 5$，所以 $10^x=2^x\cdot 5^x$。分子变成 $2^x5^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50$，这四项摆明了就是要你分组。

2. 2

   用分组法分解分子。 分成 $2^x(5^x-25)-2(5^x-25)$，就能提出公因式，得到 $(2^x-2)(5^x-25)$。它的零点是 $2^x=2\Rightarrow x=1$ 和 $5^x=25\Rightarrow x=2$。

3. 3

   分解分母。 $5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)=-(x-1)(x-4)=(x-1)(4-x)$。它在 $x=1$ 和 $x=4$ 处为零，所以这两个值都要从定义域里剔除。注意 $x=1$ 既是分子的零点又是分母的零点，所以它无论如何都不可能是解。

4. 4

   逐个因式跟踪符号。 分子：$x<1$ 时 $2^x-2<0$，$x<2$ 时 $5^x-25<0$，所以分子在 $(-\infty,1)$ 上为正，在 $(1,2)$ 上为负，在 $(2,\infty)$ 上为正。分母 $(x-1)(4-x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上为负，在 $(1,4)$ 上为正，在 $(4,\infty)$ 上为负。

5. 5

   逐段把符号合起来。 $(-\infty,1)$：$+/-=-$。$(1,2)$：$-/+=-$。$(2,4)$：$+/+=+$。$(4,\infty)$：$+/-=-$。只有 $(2,4)$ 上商为正；而 $x=2$ 本身分子为 $0$、分母不为零，所以它要包含进来。

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   取一个样本点和端点验算。 取 $x=3$，分子是 $1000-200-250+50=600$，分母是 $15-9-4=2$，商为 $300\ge 0$，与预测一致。取 $x=2$，分子是 $100-100-50+50=0$，分母是 $2$，商恰好为 $0$，非严格不等号成立。