化简 (a − b)/(a + b + 2√(ab)) 乘 (√a + √b)/(√a − √b)。

Step-by-step solution

1. 1

   在心里把变量换成 $\sqrt a$ 和 $\sqrt b$。 这个式子的每一块都是由 $u=\sqrt a$ 和 $v=\sqrt b$ 搭起来的。把它改写成

   $\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2+2uv}\cdot\frac{u+v}{u-v}$

   两个看着陌生的根式表达式，立刻变成了代数里最标准的两个公式。

2. 2

   把分子按平方差分解。

   $a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$

3. 3

   认出分母是完全平方。 按 $u^2+2uv+v^2$ 的形式，

   $a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2$

   交叉项 $2\sqrt{ab}=2\sqrt a\sqrt b$ 正好就是配成完全平方所需的 $2uv$ —— 看出这一点是整道题的关键。

4. 4

   把两个分解都代进去。

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}$

5. 5

   逐个约分。 因式 $\sqrt a-\sqrt b$ 在分子和分母上各出现一次；$\sqrt a+\sqrt b$ 在分子和分母上各出现两次。全部约掉，只剩下

   $1$

   这些约分之所以合法，恰恰是因为 $a\neq b$（所以 $\sqrt a-\sqrt b\neq0$）以及 $a,b>0$（所以 $\sqrt a+\sqrt b>0$）。

6. 6

   代数值验证。 取 $a=4,b=9$：$\tfrac{-5}{4+9+12}\cdot\tfrac{2+3}{2-3}=\tfrac{-5}{25}\cdot(-5)=1$ ✓。取 $a=2.5,b=7.3$ 直接用小数算，结果同样是 $1.000000$ ✓。