解不等式组：−x² + 3x + 4 ≥ 0 且 3x² − 5x ≥ 0，把解集写成若干区间的并集。

Step-by-step solution

1. 1

   把「且」直接读成「取交集」。 两个不等式各有自己的解集，不等式组成立的地方恰好是二者重叠的部分。于是任务就拆成两次独立的二次函数符号分析，外加最后一次求交集。

2. 2

   给第一个不等式变号，让抛物线开口向上。 把 $-x^{2}+3x+4\ge 0$ 两边同乘 $-1$，不等号方向要反过来：

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   抛物线 $y=(x-4)(x+1)$ 开口向上，所以它小于等于零的地方正是两根之间：

   $-1\le x\le 4.$

3. 3

   把 $3x^{2}-5x$ 提出公因式 $x$。 由于没有常数项，因式分解一步到位：

   $3x^{2}-5x=x(3x-5)\ge 0,\qquad\text{两根为 }x=0,\;x=\tfrac53 .$

   开口向上的抛物线在两根之外才 $\ge 0$，因此

   $x\le 0\quad\text{或}\quad x\ge \tfrac53 .$

   和因式为 $3x-2$ 的那道姊妹题比较一下：只有右边那个根挪了位置，从 $\tfrac23$ 变成 $\tfrac53$。

4. 4

   把 $[-1,4]$ 与 $(-\infty,0]\cup\left[\tfrac53,\infty\right)$ 求交集。 一段一段来，

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad[-1,4]\cap\left[\tfrac53,\infty\right)=\left[\tfrac53,4\right],$

   于是解集为 $[-1,0]\cup\left[\tfrac53,4\right]$。被挖掉的空档 $\left(0,\tfrac53\right)$ 比 $3x-2$ 那一版更宽，这也是两个答案之间唯一看得出来的差别。

5. 5

   抽三个点验算。 $x=0.5$：第一个不等式得 $-0.25+1.5+4=5.25\ge 0$ ✓，第二个得 $0.75-2.5=-1.75<0$ ✗——确实该被排除。$x=2$：$6\ge 0$ ✓，且 $12-10=2\ge 0$ ✓——应当入选。$x=-1$：$-1-3+4=0\ge 0$ ✓，且 $3+5=8\ge 0$ ✓——左端点属于解集。