解不等式 x² − 2x − 1 > 0。

Step-by-step solution

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   先试因式分解，看清它为什么行不通。 $-1$ 的整数因数只有 $\pm1$，没有哪一对之和等于 $-2$。所以这个三项式在整数范围内分解不了，也就是说边界点只能由求根公式提供，而不是靠分解。

2. 2

   用求根公式解对应的方程。 这里 $a=1$，$b=-2$，$c=-1$：

   $x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$

   判别式 $8$ 为正，但不是完全平方数，边界因此是无理数。

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   记下两个边界的近似值。 $1-\sqrt2\approx-0.4142$，$1+\sqrt2\approx2.4142$。手边有小数值，判号推理和最后的检验都会具体得多。

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   用抛物线的开口方向代替符号表。 二次项系数 $a=1$ 为正，所以图象是开口向上的抛物线，并在这两点处穿过 $x$ 轴。开口向上的抛物线在两根之间为负、在两根之外为正。题目要的是 $>0$，那就取外侧：

   $x<1-\sqrt2\qquad\text{或}\qquad x>1+\sqrt2$

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   取点核对。 取 $x=0$（区间内部）：$0-0-1=-1<0$，确实该被排除。取 $x=-1$（左侧）：$1+2-1=2>0$ ✓。取 $x=3$（右侧）：$9-6-1=2>0$ ✓。

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   注意不等号是严格的，并写成区间形式。 因为不带等号，两个根本身 —— 表达式在那里恰好等于 $0$ —— 要排除在外：

   $(-\infty,\,1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2,\,\infty)$

   在 $[-6,6]$ 上扫 $1201$ 个点，处处与这个集合相符 ✓。