不等式 |ax + 5| ≤ b 的解集是 −4 ≤ x ≤ 6。求 a − b。

Step-by-step solution

1. 1

   把不等式改写成「中心与半径」的说法。 当 $a\ne 0$ 时，

   $|ax+5|\le b\iff |a|\left|x+\frac5a\right|\le b\iff \left|x-\left(-\frac5a\right)\right|\le\frac{b}{|a|}$

   可见解集总是一个闭区间，以 $-\tfrac5a$ 为中心、以 $\tfrac{b}{|a|}$ 为半径。这个捷径能省掉对 $a$ 正负的分类讨论。

2. 2

   从给定的区间读出中心和半径。 对 $[-4,6]$，

   $\text{中心}=\frac{-4+6}{2}=1,\qquad \text{半径}=\frac{6-(-4)}{2}=5$

3. 3

   用中心定出 $a$。

   $-\frac{5}{a}=1\ \Longrightarrow\ a=-5$

4. 4

   用半径定出 $b$。 由 $|a|=5$，

   $\frac{b}{5}=5\ \Longrightarrow\ b=25$

   注意 $b=25\ge 0$，这是必须满足的——$b$ 若为负，$|ax+5|\le b$ 根本无解。

5. 5

   算出 $a-b$，并回到原不等式验证。

   $a-b=-5-25=-30$

   检验：取 $a=-5$、$b=25$，不等式就是 $|-5x+5|\le 25$，即 $5|x-1|\le 25$，即 $|x-1|\le 5$，即 $-4\le x\le 6$——正是题给的解集。两个端点处 $|-5(-4)+5|=25$、$|-5(6)+5|=25$，都恰好取到上界，这正是等号所要求的。

6. 6

   归纳成通法。 对任何 $|ax+c|\le b$：解集区间的中点是 $-c/a$，半长是 $b/|a|$。把这两个量与给定区间的中点和半长对应相等，总能一步定出 $a$ 和 $b$，完全不用分符号讨论。