解方程 x² − 2√3 = 0。

Step-by-step solution

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   把常数项移到另一边。 常数项碰巧是无理数，但这一点丝毫不影响代数变形：

   $x^2=2\sqrt{3}$

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   检查右边的符号。 $2\sqrt3\approx 3.4641>0$，所以实数解存在。（要是常数项为负，$x^2$ 就得取负值，那就没有实根了。）

3. 3

   开平方，正负两支都要取。

   $x=\pm\sqrt{2\sqrt{3}}$

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   用分数指数改写这个复合根式。 这是最简洁的精确形式：

   $\sqrt{2\sqrt3}=\left(2\cdot 3^{1/2}\right)^{1/2}=2^{1/2}\,3^{1/4}=\sqrt{2}\,\sqrt[4]{3}$

   数值上 $\sqrt2\approx 1.41421$，$\sqrt[4]3\approx 1.31607$，于是 $x\approx\pm 1.8612$。

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   平方回去验算。 $1.8612^2\approx 3.4641$，而 $2\sqrt3\approx 3.4641$ $\checkmark$。两个根互为相反数——形如 $x^2=k$ 的方程永远如此。