求解不等式 (|x − 2| − x) / (x² − 4) ≤ 0，并把解集写成区间形式。

Step-by-step solution

1. 1

   先排除使表达式无意义的点。 分式只有在分母不为零时才有定义。这里 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，所以

   $x\ne 2\quad\text{且}\quad x\ne -2.$

   无论分子取什么值，这两个点都不可能属于解集——分母为零时，$\le$ 号也救不回来。

2. 2

   在绝对值的分界点处分类讨论。 $|x-2|$ 在 $x=2$ 处改变表达式：当 $x\ge 2$ 时它等于 $x-2$，当 $x<2$ 时等于 $2-x$。因为整个不等式在分界点两侧的表现不同，我们分别在两段上求解，最后取并集。这里要用代数方法而不是随便代几个数去试，否则很容易漏掉测试点之间的情况。

3. 3

   情形一：$x>2$。 此时 $|x-2|=x-2$，分子直接化成一个常数：

   $\frac{(x-2)-x}{x^2-4}=\frac{-2}{x^2-4}.$

   当 $x>2$ 时分母 $x^2-4$ 为正，所以这一段里的每个 $x$ 都让分式取负值。整条射线 $(2,+\infty)$ 都满足不等式（$x=2$ 本身已在第一步被排除）。

4. 4

   情形二：$x<2$。 此时 $|x-2|=2-x$，分子是 $2-2x=2(1-x)$，于是

   $\frac{2(1-x)}{(x-2)(x+2)}\le 0.$

   分子在 $x=1$ 处为零，在 $x<1$ 时为正；因子 $x-2$ 在这一整段里都是负的；因子 $x+2$ 在 $x=-2$ 处变号。

5. 5

   为情形二列符号表。 用临界值 $-2$ 和 $1$ 把数轴分段：

   区间	$2(1-x)$	$x-2$	$x+2$	分式
   $x<-2$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $-2<x<1$	$+$	$-$	$+$	$-$
   $1<x<2$	$-$	$-$	$+$	$+$

   只有 $-2<x<1$ 能让分式为负。在 $x=1$ 处分子为 $0$，而分母是 $-3\ne 0$，所以分式的值等于 $0$——而 $0\le 0$ 成立，因此 $x=1$ 要包含进来。

6. 6

   把两种情形的结果取并集。 把情形二得到的 $(-2,1]$ 与情形一得到的 $(2,+\infty)$ 合起来：

   $(-2,\,1]\ \cup\ (2,\,+\infty).$

   代几个数验证一下：$x=0$ 时值为 $-0.5$（成立），$x=1.5$ 时为 $+0.571$（不成立），$x=3$ 时为 $-0.4$（成立），$x=-2.5$ 时为 $+3.11$（不成立）。