解方程 (x + 8)(x + 3) = 9。

Step-by-step solution

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   先别急着用零因子法则。 $(x+8)(x+3)=9$ 并不意味着 $x+8=9$ 或 $x+3=9$。零因子法则只在乘积等于零时才成立，所以必须先把方程化成标准形式。

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   展开并合并。

   $(x+8)(x+3)=x^2+3x+8x+24=x^2+11x+24$

   $x^2+11x+24=9\quad\Longrightarrow\quad x^2+11x+15=0$

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   试试能不能在整数范围内分解。 我们需要两个整数，积为 $15$、和为 $11$。$15$ 的因数对只有 $1\cdot 15$（和为 $16$）和 $3\cdot 5$（和为 $8$），都凑不出 $11$。特别地，看起来很诱人的 $6$ 和 $5$ 也不行，因为 $6\cdot 5=30\neq 15$。所以这个二次式没有整数分解。

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   用判别式确认，再套求根公式。

   $\Delta=11^2-4(1)(15)=121-60=61$

   $61$ 是质数，因此不是完全平方数，这就证明了两个根是无理数：

   $x=\frac{-11\pm\sqrt{61}}{2}$

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   算出数值并检验。 $\sqrt{61}\approx 7.8102$，所以

   $x\approx-1.5949\qquad\text{或}\qquad x\approx-9.4051$

   代入 $x\approx-1.5949$：$(6.4051)(1.4051)\approx 9.000$ $\checkmark$。韦达定理给出第二重检验：两根之和为 $-11$、之积为 $15$，与系数吻合。